Тепловой энергии формула: Формула расчета Гкал по отоплению, общие сведения о расчетах Гкал

Удельная теплоемкость позволяет математически связать количество тепловой энергии, полученной (или потерянной) образцом любого вещества с массой образца и ее результирующим изменением температуры. Связь между этими четырьмя величинами часто выражается следующим уравнением.

Q = m • C • ΔT

где Q — количество тепла, переданного объекту или от него, m — масса объекта, C — удельная теплоемкость материала, из которого состоит объект, а ΔT — результирующее изменение температуры объекта. Как и во всех других ситуациях в науке, значение дельта (∆) для любой величины вычисляется путем вычитания начального значения количества из окончательного значения количества. В этом случае ΔT равно T _final — T _initial .При использовании приведенного выше уравнения значение Q может быть положительным или отрицательным. Как всегда, положительный и отрицательный результат расчета имеет физическое значение. Положительное значение Q указывает, что объект получил тепловую энергию из окружающей среды; это соответствовало бы повышению температуры и положительному значению ΔT. Отрицательное значение Q указывает на то, что объект выделяет тепловую энергию в окружающую среду; это соответствовало бы снижению температуры и отрицательному значению ΔT.

Знание любых трех из этих четырех величин позволяет человеку вычислить четвертое количество. Обычная задача на многих уроках физики включает решение проблем, связанных с отношениями между этими четырьмя величинами. В качестве примеров рассмотрим две проблемы ниже. Решение каждой проблемы разработано для вас. Дополнительную практику можно найти в разделе «Проверьте свое понимание» внизу страницы.

Как и любая проблема в физике, решение начинается с определения известных величин и соотнесения их с символами, используемыми в соответствующем уравнении. В этой задаче мы знаем следующее:

м = 450 г
C = 4,18 Дж / г / ° C
Т _{начальная} = 15 ° С
T _{окончательная} = 85 ° C

Мы хотим определить значение Q — количество тепла.Для этого мы использовали бы уравнение Q = m • C • ΔT. Буквы m и C известны; ΔT можно определить по начальной и конечной температуре.

T = T _{окончательный} — T _{начальный} = 85 ° C — 15 ° C = 70 ° C

Зная три из четырех величин соответствующего уравнения, мы можем подставить и решить для Q.

Q = m • C • ΔT = (450 г) • (4,18 Дж / г / ° C) • (70 ° C)
Q = 131670 Дж
Q = 1.3×10 ⁵ J = 130 кДж (округлено до двух значащих цифр)

По сравнению с предыдущей проблемой это гораздо более сложная проблема. По сути, эта проблема похожа на две проблемы в одной. В основе стратегии решения проблем лежит признание того, что количество тепла, потерянного водой (Q _вода ), равно количеству тепла, полученного металлом (Q _металл ). Поскольку значения m, C и ΔT воды известны, можно вычислить Q _water .Это значение воды Q _{равно значению} металла Q _{. Как только значение металла} Q _{известно, его можно использовать со значениями m и ΔT металла для расчета металла} Q _{. Использование этой стратегии приводит к следующему решению:}

Часть 1: Определение потерь тепла водой

Дано:

м = 50,0 г
C = 4,18 Дж / г / ° C
Т _{начальная} = 88,6 ° С
Т _финал = 87.1 ° С
ΔT = -1,5 ° C (T _{конечный} — T _{начальный} )

Решить для Q _воды :

Q _вода = m • C • ΔT = (50,0 г) • (4,18 Дж / г / ° C) • (-1,5 ° C)
Q _вода = -313,5 Дж (без заземления)
(Знак — означает, что вода теряет тепло)

Часть 2: Определите стоимость металла C

Дано:

Q _металл = 313.5 Дж (используйте знак +, так как металл нагревается)
m = 12,9 г
Т _{начальная} = 26,5 ° С
T _{окончательная} = 87,1 ° C
ΔT = (T _{конечный} — T _{начальный} )

Решить для C _металл :

Переставьте Q _{из металла} = m _{из металла} • C _{из металла} • ΔT _{из металла} , чтобы получить C _{из металла} = Q _{из металла} / (m _{из металла} • ΔT _{из металла} )

C _металл = Q _металл / (м _металл • ΔT _металл ) = (313.5 Дж) / [(12,9 г) • (60,6 ° C)]
C _металл = 0,40103 Дж / г / ° C
C _металл = 0,40 Дж / г / ° C (округлено до двух значащих цифр)

Приведенное выше обсуждение и соответствующее уравнение (Q = m • C • ∆T) связывает тепло, получаемое или теряемое объектом, с результирующими изменениями температуры этого объекта. Как мы узнали, иногда тепло накапливается или теряется, но температура не меняется.Это тот случай, когда вещество претерпевает изменение состояния. Итак, теперь мы должны исследовать математику, связанную с изменениями состояния и количества тепла.

Чтобы начать обсуждение, давайте рассмотрим различные изменения состояния, которые можно наблюдать для образца вещества. В таблице ниже перечислены несколько изменений состояния и указаны имена, обычно связанные с каждым процессом.

В случае плавления, кипения и сублимации к образцу вещества должна быть добавлена ​​энергия, чтобы вызвать изменение состояния.Такие изменения состояния называют эндотермическими. Замораживание, конденсация и осаждение экзотермичны; энергия высвобождается образцом материи, когда происходят эти изменения состояния. Таким образом, можно заметить, что образец льда (твердая вода) тает, когда его помещают на горелку или рядом с ней. Тепло передается от горелки к образцу льда; энергия приобретается льдом, вызывая изменение состояния. Но сколько энергии потребуется, чтобы вызвать такое изменение состояния? Есть ли математическая формула, которая могла бы помочь в определении ответа на этот вопрос? Безусловно, есть.

Количество энергии, необходимое для изменения состояния образца материи, зависит от трех вещей. Это зависит от того, что это за субстанция, от того, сколько субстанции претерпевает изменение состояния, и от того, какое изменение состояния происходит. Например, для плавления льда (твердая вода) требуется другое количество энергии, чем для плавления железа. И для таяния льда (твердая вода) требуется другое количество энергии, чем для испарения того же количества жидкой воды. И, наконец, для плавления 10 требуется другое количество энергии.0 граммов льда по сравнению с таянием 100,0 граммов льда. Вещество, процесс и количество вещества — это три переменные, которые влияют на количество энергии, необходимое для того, чтобы вызвать конкретное изменение состояния. Используйте виджет ниже, чтобы исследовать влияние вещества и процесса на изменение энергии. (Обратите внимание, что теплота плавления — это изменение энергии, связанное с изменением состояния твердое-жидкое.)

Значения удельной теплоты плавления и удельной теплоты испарения указаны из расчета на количество .Например, удельная теплота плавления воды составляет 333 Дж / грамм. Чтобы растопить 1,0 грамм льда, требуется 333 Дж энергии. Чтобы растопить 10 граммов льда, требуется в 10 раз больше энергии — 3330 Дж. Такое рассуждение приводит к следующим формулам, связывающим количество тепла с массой вещества и теплотой плавления и испарения.

Для плавления и замораживания: Q = m • ΔH _fusion
Для испарения и конденсации: Q = m • ΔH _{испарение}

, где Q представляет количество энергии, полученной или высвобожденной во время процесса, m представляет собой массу образца, ΔH _fusion представляет собой удельную теплоту плавления (на грамм), а ΔH _{испарения} представляет собой удельную теплоту плавления. испарение (из расчета на грамм).Подобно обсуждению Q = m • C • ΔT, значения Q могут быть как положительными, так и отрицательными. Значения Q положительны для процесса плавления и испарения; это согласуется с тем фактом, что образец вещества должен набирать энергию, чтобы плавиться или испаряться. Значения Q отрицательны для процесса замораживания и конденсации; это согласуется с тем фактом, что образец вещества должен терять энергию, чтобы замерзнуть или конденсироваться.

В качестве иллюстрации того, как можно использовать эти уравнения, рассмотрим следующие два примера задач.

Уравнение, связывающее массу (48,2 грамма), теплоту плавления (333 Дж / г) и количество энергии (Q): Q = m • ΔH _fusion .Подстановка известных значений в уравнение приводит к ответу.

Q = м • ΔH _{плавление} = (48,2 г) • (333 Дж / г)
Q = 16050,6 Дж
Q = 1,61 x 10 ⁴ Дж = 16,1 кДж (округлено до трех значащих цифр)

Пример Задачи 3 включает в себя довольно простое вычисление типа «подключай и исправляй». Теперь мы попробуем Пример задачи 4, который потребует более глубокого анализа.

В этой задаче лед тает, а жидкая вода остывает. Энергия передается от жидкости к твердому телу. Чтобы растопить твердый лед, на каждый грамм льда необходимо передать 333 Дж энергии. Эта передача энергии от жидкой воды ко льду охлаждает жидкость.Но жидкость может охладиться только до 0 ° C — точки замерзания воды. При этой температуре жидкость начнет затвердевать (замерзнуть), а лед полностью не растает.

Мы знаем следующее о льду и жидкой воде:

Информация о льду:

м = 50,0 г
ΔH _{плавление} = 333 Дж / г

Информация о жидкой воде:

С = 4.18 Дж / г / ° C
Т _{начальная} = 26,5 ° С
T _{окончательная} = 0,0 ° C
ΔT = -26,5 ° C (T _{конечный} — T _{начальный} )

Энергия, полученная льдом, равна энергии, потерянной из воды.

Q _лед = -Q _{жидкая вода}

Знак — указывает, что один объект получает энергию, а другой объект теряет энергию. Мы можем вычислить левую часть приведенного выше уравнения следующим образом:

Q _лед = m • ΔH _fusion = (50.0 г) • (333 Дж / г)
Q _лед = 16650 Дж

Теперь мы можем установить правую часть уравнения равной m • C • ΔT и начать подставлять известные значения C и ΔT, чтобы найти массу жидкой воды. Решение:

16650 Дж = -Q _{жидкая вода}
16650 Дж = -м _{жидкая вода} • C _{жидкая вода} • ΔT _{жидкая вода}
16650 Дж = -м _{жидкая вода} • (4.18 Дж / г / ° C) • (-26,5 ° C)
16650 Дж = -м _{жидкая вода} • (-110,77 Дж / ° C)
м _{жидкая вода} = — (16650 Дж) / (- 110,77 Дж / ° C)
м _{жидкая вода} = 150,311 г
м _{жидкая вода} = 1,50×10 ² г (округлено до трех значащих цифр)

Еще раз о кривых нагрева и охлаждения

На предыдущей странице Урока 2 обсуждалась кривая нагрева воды.Кривая нагрева показывала, как температура воды увеличивалась с течением времени по мере нагрева образца воды в твердом состоянии (т. Е. Льда). Мы узнали, что добавление тепла к образцу воды может вызвать либо изменение температуры, либо изменение состояния. При температуре плавления воды добавление тепла вызывает преобразование воды из твердого состояния в жидкое состояние. А при температуре кипения воды добавление тепла вызывает преобразование воды из жидкого состояния в газообразное.Эти изменения состояния произошли без каких-либо изменений температуры. Однако добавление тепла к образцу воды, не имеющей температуры фазового перехода, приведет к изменению температуры.

Теперь мы можем подойти к теме кривых нагрева на более количественной основе. На диаграмме ниже представлена ​​кривая нагрева воды. На нанесенных линиях есть пять помеченных участков.

Три диагональных участка представляют собой изменения температуры пробы воды в твердом состоянии (участок 1), жидком состоянии (участок 3) и газообразном состоянии (участок 5).Две горизонтальные секции представляют изменения в состоянии воды. На участке 2 проба воды тает; твердое вещество превращается в жидкость. В секции 4 образец воды подвергается кипению; жидкость превращается в газ. Количество тепла, передаваемого воде в секциях 1, 3 и 5, связано с массой образца и изменением температуры по формуле Q = m • C • ΔT. А количество тепла, переданного воде в секциях 2 и 4, связано с массой образца и теплотой плавления и испарения по формулам Q = m • ΔH _fusion (секция 2) и Q = m • ΔH _{испарение} (раздел 4).Итак, теперь мы попытаемся вычислить количество тепла, необходимое для перевода 50,0 граммов воды из твердого состояния при -20,0 ° C в газообразное состояние при 120,0 ° C. Для расчета потребуется пять шагов — по одному шагу для каждого раздела приведенного выше графика. Хотя удельная теплоемкость вещества зависит от температуры, в наших расчетах мы будем использовать следующие значения удельной теплоемкости:

Твердая вода: C = 2,00 Дж / г / ° C
Жидкая вода: C = 4,18 Дж / г / ° C
Газообразная вода: C = 2.01 Дж / г / ° C

Наконец, мы будем использовать ранее сообщенные значения ΔH _fusion (333 Дж / г) и ΔH _{испарения} (2,23 кДж / г).

Раздел 1 : Изменение температуры твердой воды (льда) с -20,0 ° C до 0,0 ° C.

Использование Q ₁ = m • C • ΔT

, где m = 50,0 г, C = 2,00 Дж / г / ° C, T _{начальная} = -200 ° C и T _{конечная} = 0,0 ° C

Q ₁ = m • C • ΔT = (50.0 г) • (2,00 Дж / г / ° C) • (0,0 ° C — -20,0 ° C)
Q ₁ = 2,00 x10 ³ Дж = 2,00 кДж

Раздел 2 : Таяние льда при 0,0 ° C.

Использование Q ₂ = m • ΔH _сварка

, где m = 50,0 г и ΔH _{плавления} = 333 Дж / г

Q ₂ = м • ΔH _{плавление} = (50,0 г) • (333 Дж / г)
Q ₂ = 1,665 x10 ⁴ Дж = 16.65 кДж
Q ₂ = 16,7 кДж (округлено до 3 значащих цифр)

Раздел 3 : Изменение температуры жидкой воды с 0,0 ° C на 100,0 ° C.

Использование Q ₃ = m • C • ΔT

, где m = 50,0 г, C = 4,18 Дж / г / ° C, T _{начальная} = 0,0 ° C и T _{конечная} = 100,0 ° C

Q ₃ = m • C • ΔT = (50,0 г) • (4,18 Дж / г / ° C) • (100,0 ° C — 0,0 ° C)
Q ₃ = 2.09 x10 ⁴ Дж = 20,9 кДж

Раздел 4 : Кипячение воды при 100,0 ° C.

Использование Q ₄ = m • ΔH _{испарение}

, где m = 50,0 г и ΔH _{испарение} = 2,23 кДж / г

Q ₄ = m • ΔH _{испарение} = (50,0 г) • (2,23 кДж / г)
Q ₄ = 111,5 кДж
Q ₄ = 112 кДж (округлено до 3 значащих цифр)

Раздел 5 : Изменение температуры жидкой воды со 100.От 0 ° C до 120,0 ° C.

Использование Q ₅ = m • C • ΔT

, где m = 50,0 г, C = 2,01 Дж / г / ° C, T _{начальная} = 100,0 ° C и T _{конечная} = 120,0 ° C

Q ₅ = m • C • ΔT = (50,0 г) • (2,01 Дж / г / ° C) • (120,0 ° C — 100,0 ° C)
Q ₅ = 2,01 x10 ³ J = 2,01 кДж

Общее количество тепла, необходимое для превращения твердой воды (льда) при -20 ° C в газообразную воду при 120 ° C, является суммой значений Q для каждого участка графика.То есть

Q _всего = Q ₁ + Q ₂ + Q ₃ + Q ₄ + Q ₅

Суммирование этих пяти значений Q и округление до нужного количества значащих цифр приводит к значению 154 кДж в качестве ответа на исходный вопрос.

В приведенном выше примере есть несколько особенностей решения, над которыми стоит задуматься:

• Первое: длинная задача была разделена на части, каждая из которых представляет собой одну из пяти частей графика.Поскольку было вычислено пять значений Q, они были обозначены как Q ₁ , Q ₂ и т. Д. Такой уровень организации требуется в многоступенчатой ​​задаче, такой как эта.
• Секунда: Внимание было уделено знаку +/- на ΔT. Изменение температуры (или любой величины) всегда рассчитывается как конечное значение величины за вычетом начального значения этой величины.
• Третий: На протяжении всей задачи внимание уделялось подразделениям.Единицы Q будут либо в Джоулях, либо в килоджоулях, в зависимости от того, какие количества умножаются. Отсутствие внимания к устройствам — частая причина сбоев в подобных проблемах.
• Четвертый: На протяжении всей задачи внимание уделялось значащим цифрам. Хотя это никогда не должно становиться основным акцентом какой-либо проблемы в физике, это, безусловно, деталь, на которую стоит обратить внимание.

Здесь, на этой странице, мы узнали, как рассчитать количество тепла, задействованного в любом процессе нагрева / охлаждения и в любом процессе изменения состояния.Это понимание будет иметь решающее значение, когда мы перейдем к следующей странице Урока 2, посвященной калориметрии. Калориметрия — это наука, связанная с определением изменений энергии системы путем измерения теплообмена с окружающей средой.

Проверьте свое понимание

1. Вода имеет необычно высокую удельную теплоемкость. Какое из следующих утверждений логически следует из этого факта?

а.По сравнению с другими веществами горячая вода вызывает сильные ожоги, потому что она хорошо проводит тепло.
б. По сравнению с другими веществами вода при нагревании быстро нагревается до высоких температур.
c. По сравнению с другими веществами, образец воды требует значительного количества тепла, чтобы немного изменить ее температуру.

2. Объясните, почему в больших водоемах, таких как озеро Мичиган, может быть довольно холодно в начале июля, несмотря на то, что температура наружного воздуха около или выше 90 ° F (32 ° C).

3. В таблице ниже описан термический процесс для различных объектов (выделен красным жирным шрифтом). Для каждого описания укажите, набирается или теряется тепло объектом, является ли процесс эндотермическим или экзотермическим, и является ли Q для указанного объекта положительным или отрицательным значением.

4. Образец металлического цинка массой 11,98 грамма помещают в баню с горячей водой и нагревают до 78,4 ° C. Затем его удаляют и помещают в чашку из пенополистирола, содержащую 50,0 мл воды комнатной температуры (T = 27,0 ° C; плотность = 1,00 г / мл). Вода прогревается до температуры 28.1 ° С. Определите удельную теплоемкость цинка.

5. Джейк берет из туалета банку с газировкой и выливает ее в чашку со льдом. Определите количество тепла, теряемого содой комнатной температуры при плавлении 61,9 г льда (ΔH _fusion = 333 Дж / г).

6. Теплота сублимации (ΔH _{сублимации} ) сухого льда (твердый диоксид углерода) составляет 570 Дж / г. Определите количество тепла, необходимое для превращения 5,0-фунтового мешка сухого льда в газообразный диоксид углерода.(Дано: 1,00 кг = 2,20 фунта)

7. Определите количество тепла, необходимое для повышения температуры 3,82-граммового образца твердого пара-дихлорбензола с 24 ° C до жидкого состояния при 75 ° C. Пара-дихлорбензол имеет температуру плавления 54 ° C, теплоту плавления 124 Дж / г и удельную теплоемкость 1,01 Дж / г / ° C (твердое состояние) и 1,19 Дж / г / ° C (жидкое состояние).

Кинетическая температура, тепловая энергия

Статистические методы становятся более точным способом изучения природы при большом количестве частиц.Таким образом, мы ожидаем, что описание скоростей молекул в газе на самом деле будет наиболее вероятным распределением, поскольку мы имеем дело с числами частиц в диапазоне числа Авогадро. Но это наиболее вероятное распределение (распределение Максвелла-Больцмана) подлежит ограничениям, а именно, что количество частиц постоянно и что полная энергия постоянна (закон сохранения энергии). Максимизация вероятностного распределения с учетом этих ограничений в целом является сложной математической задачей (см. Richtmyer, et al., Например). Один из способов подойти к решению более интуитивно — это рассмотреть известный нам физический пример, а именно физику атмосферы под действием силы тяжести, отраженную в барометрической формуле. Следующее лечение следует за разработкой Rohlf.

В этом подходе мы используем тот факт, что средняя кинетическая энергия молекул может быть выражена через кинетическую температуру. Кроме того, мы знаем, что сохранение энергии в этом случае включает просто баланс кинетической энергии и гравитационной потенциальной энергии, если мы рассматриваем атмосферу как идеальный газ.

Из выражения для кинетической температуры

у нас есть описание идеальной газовой системы, которое можно использовать, чтобы помочь разработать аргумент правдоподобия для распределения Максвелла по скоростям. Шаги в этом процессе следующие:

Для одного направления в пространстве этот процесс дает выражение:

, а когда включены все направления скорости, получается соотношение распределения скоростей Максвелла:

Следует отметить, что хотя мы использовали физическую ситуацию, зависящую от гравитации, для получения распределения скоростей, гравитация не появляется в конечном результате.То есть полученный результат является общим, не содержащим g. Барометрическая формула использовалась просто как конструкция, чтобы связать распределение скоростей с ограничениями по энергии и количеству частиц.

Калькулятор тепловой энергии

Наш калькулятор тепловой энергии представляет собой удобный инструмент, который может характеризовать параметры идеального газа, такие как средняя кинетическая энергия молекул, средняя скорость молекул или общая тепловая энергия газа. Поведение газов можно объяснить кинетической молекулярной теорией, которая описывает газ как большое количество атомов или молекул, находящихся в постоянном движении.Эти частицы могут сталкиваться друг с другом и со стенками контейнера.

Прочтите, если вы хотите узнать больше об определении кинетической молекулярной теории и узнать, какова взаимосвязь между температурой и кинетической энергией. В тексте ниже мы объяснили, что такое тепловая энергия, а также предоставили определение тепловой энергии и уравнение тепловой энергии. Вас также может заинтересовать наш калькулятор атмосферного давления на высоте или калькулятор плотности воздуха.

Определение кинетической молекулярной теории

Кинетическая молекулярная теория утверждает, что давление газа вызывается ударами молекул о стенки контейнера.Эти молекулы сталкиваются друг с другом, изменяя таким образом свои скорости. Определение кинетической молекулярной теории сформулировано при определенных предположениях:

• Газ состоит из частиц одинаковой массы и незначительного размера по сравнению со средним расстоянием между частицами.
• Частицы находятся в постоянном хаотическом движении. Взаимодействиями между молекулами можно пренебречь, за исключением столкновений между частицами, которые являются совершенно упругими. Ознакомьтесь с нашим калькулятором сохранения импульса, чтобы узнать о различных типах столкновений.
• Средняя кинетическая энергия частиц газа зависит только от температуры газа. Время столкновения очень мало по сравнению с временем между столкновениями.

Эти предположения приблизительно выполняются для газов при не слишком высоких давлениях и не слишком низких температурах.

Определение тепловой энергии

Тепловая энергия — это внутренняя кинетическая энергия, возникающая из-за беспорядочного движения молекул. Каждая молекула имеет разную скорость (которая меняется после столкновений), которую можно описать распределением Максвелла-Больцмана.Мы написали об этом больше в нашем калькуляторе скорости частиц, где вы также можете вычислить среднюю скорость частиц при определенной температуре. Полная тепловая энергия газа определяется суммой кинетических энергий всех частиц.

Вы должны помнить, что приравнивать тепловую энергию к теплу — ошибка. Тепло, как и работа, — это способ передачи энергии. И если мы хотим ответить на вопрос, что такое тепловая энергия, мы можем сказать, что это внутреннее свойство системы.

Уравнение тепловой энергии

Какова связь между температурой и кинетической энергией в идеальном газе? Вы можете найти ответ на этот вопрос с помощью нашего калькулятора тепловой энергии, который может вычислить среднюю кинетическую энергию частиц, среднюю скорость частиц и общую тепловую энергию газа. Он использует следующие формулы:

= f * k * T / 2

= √ (2 * * Na / M)

U = n * Na *

где

• — средняя кинетическая энергия молекул,
• — средняя скорость молекул,
• U — полная тепловая энергия газа,
• f — число степеней свободы,
• T — температура,
• M — молярная масса газа,
• n — количество молей,
• k — постоянная Больцмана k = 1.23 1 / моль .

Число степеней свободы — это физический параметр, который необходим для характеристики состояния физической системы. В нашем калькуляторе тепловой энергии мы приняли, что она равна 3 , что верно для одноатомного газа. Если вы хотите его изменить, перейдите в расширенный режим.

Хотите оценить другие параметры идеального газа? Воспользуйтесь нашим калькулятором закона идеального газа, чтобы узнать, какова связь между температурой, давлением и объемом газа.

Тепловая энергия: определение, уравнение, типы (со схемой и примерами)

Обновлено 28 декабря 2020 г.

Автор: Кевин Бек

Тепловая энергия, также называемая тепловой энергией или просто тепловой , это тип внутренней энергии , которой объект обладает благодаря кинетической энергии составляющих его частиц.

Сама энергия, хотя ее достаточно легко определить в математических терминах, является одной из наиболее неуловимых величин в физике с точки зрения того, что по сути является .Есть много форм энергии, и легче определить энергию в терминах пределов ее арифметического поведения, чем сформулировать ее точным языком.

В отличие от поступательного или вращения кинетической энергии, которые возникают в результате движения на некотором линейном расстоянии или по кругу, соответственно (и они могут происходить вместе, как в случае брошенного фрисби), тепловая энергия исходит от движение огромного количества крошечных частиц, движение, которое можно представить как вибрацию вокруг фиксированных точек в пространстве.

В среднем каждая частица находится в определенном месте внутри расширенной системы, поскольку она отчаянно блуждает вокруг этой точки, даже если ни в какой момент времени частица статистически не может быть там обнаружена. Это скорее похоже на среднее положение Земли с течением времени, близкое к центру Солнца, хотя такое расположение (к счастью!) Никогда не происходит.

Каждый раз, когда два материала вступают в контакт, включая воздух, происходит трение , и некоторая часть полной энергии системы, которая, как вы увидите, всегда должна оставаться постоянной, преобразуется в тепловую энергию.

Объект и его окружение испытывают повышение температуры , что является количественным выражением тепловой энергии и теплопередачи , измеряемых в градусах Цельсия (° C), градусах Фаренгейта (° F) или Кельвинах. (К). Когда предметы теряют тепло, они опускаются до более низкой температуры.

Что такое энергия?

Энергия бывает разных форм, а также различных единиц, наиболее распространенной из которых является джоуль (Дж) , названная в честь Джеймса Прескотта Джоуля.Сам джоуль состоит из единиц силы, умноженной на расстояние, или ньютон-метров (Н · м). Более фундаментально, единицы энергии — кг⋅м ² / с ² .

Одно понятие, тесно связанное с энергией, — это работа , которая имеет единицы энергии , но не рассматривается физиками как как энергия . Можно сказать, что работа «выполняется» в системе путем добавления к ней энергии, что приводит к физическим изменениям в системе (например, она перемещает поршень или вращает магнитную катушку, то есть выполняет полезную работу. ).Система — это любое физическое устройство с четко определенными границами, которым может быть даже Земля в целом.

В дополнение к тепловой энергии (обычно обозначаемой Q) и кинетической энергии («нормальный» линейный или вращательный вид), другие типы энергии включают потенциальную энергию , механическую энергию и электрическую энергию . Критическим аспектом энергии является то, что, независимо от того, как она проявляется в любой системе, всегда сохраняется .

Тепловая энергия: наименее полезная форма энергии

Когда происходит передача тепловой энергии в окружающую среду (т.е.е., она «рассеивается» или «теряется»), конечно, на самом деле энергия никоим образом не разрушается, так как это нарушило бы закон сохранения энергии.

Однако это тепло не может быть полностью уловлено и повторно использовано, поэтому его называют менее полезной формой энергии. Когда зимой вы проезжаете мимо здания или наземного вентиляционного отверстия, и из него выходит бесконечное облако пара или теплого воздуха, это наглядный пример тепловой энергии, которая является «бесполезной» энергией. С другой стороны, тепловая машина , подобная той, что используется в автомобилях с бензиновым двигателем, использует тепловую энергию для получения механической энергии.

Тепловая энергия и температура

Температура объекта или системы является мерой средней кинетической энергии поступательного движения на молекулу этого объекта, а тепловая энергия — это полная внутренняя энергия системы. Когда частицы движутся, всегда есть кинетическая энергия. Перемещение тепла вверх против температурного градиента требует работы, например использования тепловых насосов.

Тепло и повседневный мир

Тепловая энергия может фигурировать здесь как ненормальная величина, но она может быть отлично использована в кулинарии и других сферах.Когда вы перевариваете пищу, вы превращаете химическую энергию из связей в углеводах, белках и жирах в тепло («калории» вместо джоулей в обычном понимании).

Трение выделяет тепло, часто в спешке. Если быстро потереть руки, они быстро нагреются. Автоматическое оружие выпускает пули из ствола так быстро, что металл почти сразу становится опасно горячим на ощупь.

Тепловая энергия и сохранение энергии: пример

Рассмотрим шарик, катящийся внутри чаши.«Система» также включает в себя окружающую среду (то есть Землю в целом). По мере того, как он движется вверх, большая часть его полной энергии преобразуется в гравитационную потенциальную энергию; по мере того, как он ускоряется у дна, большая часть этой энергии преобразуется в кинетическую энергию. Если бы это была вся история, шарик продолжал бы подниматься и опускаться бесконечно, достигая одинаковой высоты и скорости с каждым циклом.

Вместо этого каждый раз, когда шарик поднимается на борт, он поднимается немного ниже и его скорость внизу немного меньше, пока, в конце концов, шарик не останавливается внизу.Это связано с тем, что все время, пока шарик катился, все больше и больше «пирога» полной энергии преобразовывалось во все больший и больший «кусок» тепловой энергии и рассеивалось в окружающей среде, больше не пригодное для использования мрамором. Внизу вся энергия системы «стала» тепловой энергией.

Уравнение тепловой энергии: теплоемкость

Одно из уравнений, с которыми вы можете столкнуться, это уравнение для теплоемкости :

Q = mC \ Delta T

, где Q — тепловая энергия в джоулей, м, — масса нагреваемого объекта, C, — удельная теплоемкость объекта, , , емкость , и дельта T, — это изменение температуры в градусах Цельсия.Удельная теплоемкость вещества — это количество энергии, необходимое для повышения температуры 1 грамма этого вещества на 1 градус Цельсия .

Таким образом, более высокая теплоемкость означает большее сопротивление изменению температуры для данной массы вещества, а большая масса сама по себе означает более высокую теплоемкость. Это имеет интуитивный смысл; Если вы подвергали 10 мл воды воздействию «высокой температуры» в микроволновой печи в течение одной минуты, изменение температуры будет намного больше, чем если бы вы нагревали 1000 мл воды, начиная с той же температуры, в течение того же периода времени.

Законы термодинамики

Термодинамика — это исследование того, как работа, тепло и внутренняя энергия взаимодействуют в системе. Важно отметить, что это касается только крупномасштабных наблюдений, которые можно измерить; кинетическая теория газов рассматривает взаимодействия на колебательном уровне.

Первый закон термодинамики гласит, что изменения внутренней энергии можно объяснить тепловыми потерями: ΔE = Q — W, где ΔE — изменение внутренней энергии (Δ — греческая буква «дельта»). , «и здесь означает» различие «), Q — это количество тепловой энергии, переданное в систему и Вт, — это работа, выполненная системой в окружающей среде.

Второй закон термодинамики гласит, что всякий раз, когда выполняется работа, количество энтропии в атмосфере увеличивается. Таким образом, поток тепловой энергии постоянно увеличивает энтропию.

• Энтропия ( S ) — это переменная состояния, термодинамическое свойство системы, которое в широком смысле означает «беспорядок», и ее движение может быть выражено как

\ Delta S = \ frac {\ Delta Q} {T}

Третий закон термодинамики гласит, что энтропия S системы приближается к постоянному значению, когда температура T приближается к абсолютному нулю (0 K или -273 С).

Когда один объект имеет более высокую температуру, чем соседний объект, эта разница температур способствует передаче энергии в виде тепла более холодному объекту.

Существует три основных способа передачи тепла от одного объекта к другому: теплопроводность (прямой контакт), конвекция (движение через жидкость или газ) и тепловое излучение (движение в пространстве).

Тепловая энергия и удельная теплоемкость

Имея термометр — способ измерения того, насколько что-то горячее или холодное — мы можем начать серию экспериментов, чтобы наблюдать, как объекты разделяют свою тепловую энергию, когда они собраны вместе.Вот пример:

1. Смешайте два равных количества воды разной температуры.
2. Смешайте два разных количества воды при разной температуре.
3. Смешайте два разных вида веществ при разных температурах

Результатом являются три важных наблюдения:

1. Для того же вещества, равные количества , температура смеси является средней из двух начальных температур:
   $$ T_ {final} = {1 \ over 2} (T_1 + T_2) $$
2. Для того же вещества, разные количества , температура смеси — это средневзвешенное значение двух начальных температур, взвешенное по доле общей массы, которая имеет каждую начальную температуру:
   $$ T_ {final} = \ bigg (\ frac {m_1} {m_1 + m_2} \ bigg) T_1 + \ bigg (\ frac {m_2} {m_1 + m_2} \ bigg) T_2 $$
3. Для различных веществ это правило НЕ выполняется.Некоторые вещества обладают большей «тепловой инерцией», чем другие.

Чтобы понять, что делать в общем случае, давайте построим механистическую модель того, что происходит, когда два объекта в хорошем контакте достигают одинаковой температуры.

Энергетическая модель общей температуры

Чтобы увидеть, что происходит, когда два объекта, находящиеся в хорошем контакте, достигают одинаковой температуры, давайте создадим модель, основанную на нашем понимании того, что происходит. Вот основные идеи модели:

• Температура — это мера средней кинетической энергии молекул вещества.
• Когда два объекта соприкасаются, столкновения на границе между более быстро движущимися молекулами более горячего вещества и более медленно движущимися молекулами более холодного вещества будут иметь тенденцию к тому, что более медленные движутся быстрее, а более быстрые — медленнее — так чтобы нагреть поднимите более холодное вещество и охладите более горячее вещество.
• Полная тепловая энергия, выходящая из более горячего вещества, будет равна полной энергии, поступающей в более холодное вещество, поскольку энергия сохраняется.
• Как эта энергия преобразуется в температуру, будет зависеть от того, насколько велик объект (сколько массы, поскольку мы говорим о кинетической энергии) и из какого материала он сделан.

Тепловая энергия, передаваемая от одного объекта к другому при контакте, обозначается как тепло и обычно обозначается символом Q . Если мы предположим, что количество тепловой энергии в объекте пропорционально температуре, умноженной на массу (не совсем верно, но нормально, если мы смотрим на небольшие изменения), то в результате этих экспериментов мы бы предположили:

$$ \ Delta T = \ frac {Q} {mc} $$

Изменение температуры, вызванное количеством тепловой энергии Q , входящей в массу м является результатом распределения этой тепловой энергии по каждой части массы и должно корректироваться постоянной, c , которая зависит от того, что это за вещество.Константа c называется удельной теплоемкостью конкретного материала. Хотя это способ смотреть на уравнение, которое гласит, что «передача тепловой энергии вызывает изменение температуры», уравнение обычно записывается так:

$$ Q = mc \ Delta T $$

Обратите внимание, что то, что мы делаем, аналогично тому, что мы делаем в ряде ситуаций, когда мы пытаемся извлечь свойства, которые зависят от внешних обстоятельств и конкретных объектов, из свойства материи, которое зависит только от того, что это за субстанция.Мы сделали это, когда, например, определили плотность, модуль Юнга и объемный модуль.

Применение уравнения в конкретных примерах

Теперь можно легко понять, что происходит, когда мы соединяем две субстанции. Предположим, что у нас есть одно и то же вещество масс m ₁ и m ₂ при температурах $ T_1 $ и $ T_2 $ соответственно, и они достигают конечной температуры $ T $. Для конкретности предположим, что 1 горячее, 2 холоднее и оба являются водой.Тогда тепло, поступающее в холодную воду (2), является положительной величиной, а тепло, поступающее в горячую воду (1), является отрицательной величиной (то есть она уходит, а не входит). Изменение температуры холодной воды положительное, а горячей — отрицательное. Уравнение теплового потока говорит нам

$$ Q_ {1 \ rightarrow 2} = -Q_ {2 \ rightarrow 1} $$

$$ m_1c_1 (T — T_1) = -m_2c_2 (T — T_2) $$

Проверьте, почему мы ставим знаки именно так!

Теперь, поскольку оба объекта являются водой, объекты c одинаковы и взаимно компенсируются.Теперь мы можем решить для T :

$$ m_1 (T — T_1) = -m_2 (T — T_2) $$

$$ m_1T — m_1T_1 = -m_2T + m_2T_2 $$

$$ m_1T + m_2T = m_1T_1 + m_2T_2 $$

$$ (m_1 + m_2) T = m_1T_1 + m_2T_2 $$

$$ T = \ bigg (\ frac {m_1} {m_1 + m_2} \ bigg) T_1 + \ bigg (\ frac {m_2} {m_1 + m_2} \ bigg) T_2 $$

Именно такой результат мы нашли экспериментально! Конечные температуры — это исходные температуры, взвешенные по доле общей массы, которую они представляют.

Если мы включим удельные плавки как возможные разные, то получится

$$ T = \ bigg (\ frac {m_1c_1} {m_1c_1 + m_2c_2} \ bigg) T_1 + \ bigg (\ frac {m_2c_2} {m_1c_1 + m_2c_2} \ bigg) T_2 $$

Конечная температура — это исходная температура, взвешенная как доля от общего значения « mc », которое они представляют. Эта комбинация — масса, умноженная на удельную теплоемкость — называется теплоемкостью объекта .

Хотя это может показаться не так из запутанной алгебры, приведенной выше, в конкретных примерах намного проще сохранять знаки прямо, если вы НЕ пытаетесь запомнить приведенное выше уравнение, а вместо этого используете концептуальное уравнение о том, как поток энергии связан с изменением температуры. ($ Q = mcΔT $) и работаем над этим.

Примечание к агрегатам

Когда этот материал был впервые изучен в начале 1800-х годов, связь с движением молекул и механической энергией не была понята. В результате «что бы это ни было», которое передавалось от одного объекта к другому при изменении температуры, получило собственное определение и определило его собственный стандарт.

Количество «тепла», которое необходимо передать, чтобы изменить температуру 1 грамма воды на 1 ° C, было принято равным на 1 калорию .(На самом деле, это было указано, когда температура воды была 4 ° C, поскольку удельная теплоемкость воды немного меняется в зависимости от температуры. Мы проигнорируем это.) Это приводит к тому, что количество «тепла», которое необходимо передать для изменения температуры 1 кг воды на 1 ° C равняется 1000 калорий. Это иногда называют килокалорий, или просто «большой» калорийностью (калория с большой буквы). Это очень сбивает с толку. Намного лучше перейти к стандартной единице Джоуля для энергии. Преобразование

1 кал = 4.186 Джоулей

1 ккал = 4186 Дж

Хотя это устанавливает основную концепцию температуры и ее связи с энергией, ситуация более сложная. Часто требуется тепловая энергия, чтобы изменить состояние вещества — расположение и, следовательно, потенциальную энергию, связанную с его молекулярными взаимодействиями. Таким образом, для плавления льда или превращения воды в пар требуется тепловая энергия — без изменения температуры. Кроме того, наше понимание значения температуры развивается по мере того, как мы понимаем, как она связана с движением молекул.Эти и другие вопросы обсуждаются ниже.

Джо Редиш 19.11.11, 30.11.12

3.4: Частичная модель тепловой энергии

Обзор

В предыдущем разделе мы смоделировали макроскопическое определение энергии связи из главы 1 с микроскопической точки зрения нейтральных субатомных частиц, взаимодействующих с парным потенциалом. В этом разделе мы попытаемся сделать такое же подключение для тепловой энергии. В главе 1 для чистых веществ в диапазоне температур, в котором применима трехфазная модель, мы сказали, что полная энергия системы определяется выражением:

\ [E_ {tot} = E_b + E_ {th} \ label {Etot1} \]

В микроскопическом описании частиц, взаимодействующих с потенциалом Леннарда-Джонса, полная энергия системы равна:

\ [E_ {tot} = PE_ {tot} + KE_ {tot} \ label {Etot2} \]

Нижний индекс «tot» относится к сумме кинетической и потенциальной энергий всех частиц.Хотя пока мы сосредоточимся только на двух частицах, для общности мы добавляем индекс «tot», чтобы уравнения можно было применять и к системам с множеством частиц. В предыдущем разделе мы сказали, что макроскопическая энергия связи может быть смоделирована как сумма парных потенциальных энергий между всеми парами в их равновесных конфигурациях (при нулевой температуре). Ваш инстинкт может сказать вам, что тепловая энергия должна быть представлена ​​в виде суммы всех кинетических энергий частиц.Но осторожно! Если мы добавим немного энергии к двухчастичной системе, не разрывая связи, энергия связи не изменится, поэтому изменится только тепловая энергия. И, как мы обсуждали в разделе 3.2, когда к системе добавляется энергия, частицы начинают колебаться около равновесия. Поскольку энергия добавляется к системе, увеличивая только тепловую энергию, диапазон колебаний увеличивается, что увеличивает как среднюю потенциальную, так и кинетическую энергию, как можно увидеть на рисунке ниже.

Рисунок 3.5.1: Полная энергия в двухчастичной системе.

Таким образом, тепловая энергия связана с потенциальной энергией, а также с кинетической. При добавлении энергии невозможно увеличить кинетическую энергию без увеличения потенциальной энергии. Как и в системе пружина-масса, когда вы добавляете потенциальную энергию, растягивая пружину дальше, вы также увеличиваете кинетическую энергию, поскольку пружина будет колебаться в среднем быстрее. В разделе 2.6 мы обсуждали, что усредненные по времени кинетическая и потенциальная энергии для системы пружина-масса одинаковы и, как результат, половина полной энергии.Поскольку потенциал Леннарда-Джонса имитирует потенциал пружинной массы, по крайней мере, для небольших колебаний, мы будем предполагать, что это взаимодействие при усреднении по времени также приведет к \ (KE_ {avg} = PE_ {avg} \). Когда энергия добавляется без разрыва связей, вся энергия переходит в тепловую, которая поровну распределяется между кинетической и потенциальной энергией:

\ [KE_ {tot} = \ frac {E_ {th}} {2} \]

Потенциальная энергия, составляющая вторую половину тепловой энергии, связана со случайными колебаниями, но есть также часть потенциальной энергии, которая равна энергии связи при нулевой температуре до добавления энергии:

\ [PE_ {tot} = \ frac {E_ {th}} {2} + E_b \]

Чтобы проверить справедливость этих уравнений, сложите их вместе, чтобы получить:

\ [KE_ {tot} + PE_ {tot} = E_ {th} + E_b \]

, что в точности соответствует двум определениям полной энергии, данным в уравнениях \ ref {Etot1} и \ ref {Etot2}, устанавливая связь между микроскопическим и макроскопическим описаниями полной энергии.

Здесь мы видели, что по мере увеличения тепловой энергии частицы начинают колебаться относительно своего равновесия. Таким образом, тепловая энергия связана со случайными колебаниями частиц, а энергия связи связана с их равновесными конфигурациями. Мы также обсудили идею равномерного распределения добавленной энергии между кинетической и потенциальной энергиями, что приведет нас к идее равного распределения энергии , приведенной ниже.

Частичная модель тепловой энергии

В модели тепловой энергии частиц мы описываем тепловую энергию макроскопического твердого тела жидкости в терминах случайных флуктуаций субатомных частиц, которые колеблются в трех пространственных измерениях.Поскольку большинство колеблющихся систем можно описать пружинным потенциалом, мы будем моделировать эти колеблющиеся частицы как массы, удерживаемые на месте тремя перпендикулярными пружинами, по одной для каждого независимого пространственного измерения, как показано на рисунке ниже.

Рисунок 3.5.1: Модель тепловой энергии с частицами, прикрепленными к пружинам.

Чтобы понять, как тепловая энергия может быть получена из этих случайных флуктуаций, мы хотели бы знать, сколькими способами каждая из этих частиц может «иметь энергию» и как общая энергия распределяется между этими различными «способами»? Чтобы ответить на этот вопрос в рамках ограничений нашей модели, мы начнем с того факта, что система пружина-масса имеет кинетическую и потенциальную энергию.Из-за случайности или беспорядка тепловых движений микроскопических пружинных масс во всех трех пространственных направлениях вполне вероятно, что в среднем каждая пружина будет иметь такие же средние значения KE и PE, как и любая другая пружина. Потенциальную и кинетическую энергии, которые связаны с этими колебаниями, можно каждый, разделить на три независимых члена, каждый из которых соответствует одному из трех независимых пространственных измерений. Следовательно, каждая частица в жидкости или твердом теле имеет , по крайней мере, , эти шесть, независимых способов, которыми она может «обладать энергией».

Здесь важно помнить, что независимо от фактического вида химической связи (типы связей и геометрическая конфигурация связей) тепловая энергия, возникающая из-за колебаний атомов или молекул (рассматриваемых как твердые частицы), моделируется. как будто они связаны тремя независимыми пружинами, соответствующими трем независимым пространственным измерениям в трехмерной вселенной.

У несвязанных атомов в газовой фазе есть другие способы получения энергии, они могут свободно перемещаться в пространстве.Если газ состоит из молекул, отдельные молекулы также могут вращаться и колебаться. Существует название или ярлык для «способа получения энергии», который мы называем режимом , также иногда называемым степенью свободы .

Равное распределение энергии

Когда мы обсуждали двухчастичную систему, мы утверждали, что разумно предположить, что половина тепловой энергии идет на кинетическую, а другая половина — на потенциальную при усреднении по времени. С точки зрения модели частиц, когда макроскопическая система достигает теплового равновесия, энергия, связанная со случайными флуктуациями (движения частиц относительно их положений равновесия в твердом или жидком теле или их случайные движения в газовой фазе) составляет , равномерно распределенная по всей образца . То есть будет примерно столько же энергии, связанной со случайными энергиями маленького кусочка образца, как и с любым другим маленьким кусочком того же размера. Это известно как Равнораспределение энергии . Это похоже на то, что мы сказали бы о температуре, если мы подождем достаточно долгое время, температура станет однородной по всему образцу. Казалось бы, существует прямая связь между температурой и беспорядочным случайным движением, связанным с тепловой энергией.{-23} Дж / К \) — постоянная Больцмана , и T, — температура. Это выражение обеспечивает связь между макроскопической концепцией температуры и микроскопической идеей моды . На словах приведенное выше уравнение означает, что температура является мерой средней энергии в активном режиме, когда образец находится в тепловом равновесии. Чтобы вычислить полную тепловую энергию, нам нужно умножить коэффициент \ (\ frac {1} {2} k_BT \) для тепловой энергии для каждой моды на общее количество мод в нашем образце.Общее количество мод равно общему количеству частиц в N, умноженному на количество мод на частицу. Таким образом, общую тепловую энергию можно записать как:

\ [E _ {\ text {Thermal}} = \ text {(# режимов на частицу)} \ times N \ times \ frac {1} {2} k_ {B} T \]

Наша следующая задача — подсчитать количество мод на частицу для разных типов веществ.

Режимы счета

Когда мы спросили, сколько способов каждая пружина в твердом теле может иметь энергию, ответ был двумя: кинетическим и потенциальным.Мы будем называть эти моды колебательной кинетической энергией , KE _vib и колебательной потенциальной энергией , PE _vib модами. Чтобы ответить на вопрос, сколькими способами каждая частица в твердом теле должна обладать энергией, мы увидели, что существует три пружины и две моды на пружину, поэтому твердое тело должно иметь шесть режимов: 3 KE _vib мод и 3 PE _виб . Равнораспределение энергии говорит нам, что каждая из этих мод будет иметь одинаковое количество энергии \ (\ frac {1} {2} k_BT \) при тепловом равновесии.Один моль твердого тела будет иметь \ (6N_A \) количество мод, в результате чего общая тепловая энергия составит:

\ [E _ {\ text {Thermal}} = 3N_Ak_ {B} T \]

Сколько режимов у разных газов? В простом одноатомном газе , состоящем из отдельных атомов, таких как газы He или Ne, или Благородные газы, атомы больше не взаимодействуют с парным потенциалом, поскольку их среднее расстояние между ними составляет \ (r \ sim 10 \ сигма \). Следовательно, атомы нельзя моделировать с помощью пружин, поскольку они не колеблются вокруг некоторого равновесия.2 = \ frac {3} {2} k_BT \]

В двухатомном газе , состоящем из двухатомных молекул, таких как H ₂ или O ₂ , все еще нет межмолекулярных (между молекулами) взаимодействий, но теперь существует внутримолекулярных (между атомами в молекуле) взаимодействия, которые необходимо учитывать. Мы можем смоделировать связь между двумя атомами в молекуле как пружину, позволяющую двум атомам колебаться относительно друг друга. Таким образом, каждая молекула будет иметь один колебательный режим кинетической и потенциальной энергии.Кроме того, что касается одноатомного газа, молекула в целом может свободно перемещаться в пространстве, поскольку она не взаимодействует с другими молекулами. Таким образом, каждая молекула имеет 3 режима поступательной кинетической энергии. Другой способ получения этой молекулы кинетической энергии — вращение. На рисунке ниже показаны все возможные вращательные моды двухатомной молекулы. Энергия, связанная с вращением, известна как кинетическая энергия вращения , KE _rot . Для двухатомной молекулы энергетически разрешены только две моды вращения (по причинам квантовой механики мы не будем здесь останавливаться).Как показано на рисунке, это вращения вокруг осей y и z. Один из способов подумать об этом состоит в том, что энергетически разрешены только вращения, которые изменяют ориентацию молекулы или не являются симметричными. Таким образом, поскольку вращение молекулы вокруг оси x симметрично, такое вращение недопустимо. Для двухатомного газа мы нашли всего 7 режимов: 3 KEtrans , 2 KE _rot , 1 KEvib и 1 P Evib .

Рисунок 3.5.2: Режимы двухатомной молекулы.

Обычно многоатомный газ состоит из молекул с числом атомов N . Молекула является линейной , когда все атомы расположены по прямой линии, как и все двухатомные молекулы. Другими примерами линейных молекул являются CO ₂ и C ₂ H ₂ . Все линейные молекулы имеют 3 KE _trans мод и 2 KE _rot . Нелинейные молекулы , такие как H ₂ O, несимметричны, могут вращаться вокруг всех трех осей, таким образом, имеют 3 моды KE _rot . Непосредственный подсчет количества форм колебаний может оказаться сложной задачей. Ниже представлены все возможные колебательные моды в нелинейной трехатомной молекуле .

Рисунок 3.5.3: Возможные колебательные моды в нелинейной трехатомной молекуле.

Однако, не задумываясь о геометрии всех возможных колебаний, мы можем косвенно подсчитать количество мод колебаний.Если рассматривать каждый атом в многоатомной молекуле независимо, мы заключаем, что молекула имеет 3N мод кинетической энергии, по 3 для каждого атома. Мы знаем, что нелинейная молекула будет иметь 3 KE _trans и 3 KErot . Чтобы добавить до 3N мод полной кинетической энергии , \ (3N = 3 + 3 + (KE_ {vib}) \), мы находим, что должно быть ( 3N-6) KE _vib мод. Для каждой кинетической колебательной моды должна существовать потенциальная колебательная мода, поэтому также существуют моды 3N-6 P E _vib .Таким образом, общее количество возможных мод в нелинейной многоатомной молекуле составляет:

\ [\ textrm {общее количество режимов} = 3 (KE_ {trans}) + 3 (KE_ {rot}) + (3N-6) (KE_ {vib}) + (3N-6) (PE_ {vib} ) = 6Н-6 \]

Аналогичный анализ можно провести для нелинейных молекул. Сводное количество режимов для всех типов веществ показано в таблице ниже.

Таблица 3.5.1: Количество режимов для различных веществ в 3D.

Иногда, однако, некоторые моды не «возбуждаются» из-за квантования уровней энергии.При низких температурах квантовое расщепление между уровнями энергии больше, чем тепловая энергия, и режим не может быть активирован. Когда это происходит, мы говорим, что режим заморожен . Замороженные режимы не может распределять тепловую энергию между другими режимами. Активные режимы — единственные, которые поровну делят тепловую энергию между собой. Вращательные моды обычно имеют меньшую энергию, чем колебательные. Таким образом, колебательные моды заморожены для типичных температур, но вращательные моды также могут стать неактивными, когда температура достаточно низкая.Трансляционные режимы всегда активны, пока температура выше нуля Кельвина.

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

1) Вы проводите различные эксперименты по определению свойств неизвестного вещества. В одном эксперименте вы помещаете 10 молей твердого вещества и 12 молей неизвестного вещества в отдельные изолированные и герметичные контейнеры. Вы обнаружите, что когда вы добавляете одинаковое количество энергии к каждому контейнеру, вы измеряете одно и то же изменение температуры. Предположим, что для любого вещества нет фазовых изменений.Определите, является ли неизвестное вещество твердым, одноатомным газом, двухатомным газом с замороженными колебательными модами или диамотическим газом с активными колебательными модами.

2) В другом эксперименте вы объединяете 2 моля твердого вещества с 3 молями двухатомного газа с колебательными модами, замороженными в изолированном контейнере. Два вещества изначально находятся при разных температурах. Когда два вещества достигают теплового равновесия, какое из них будет иметь большее изменение температуры?

Решение

1) В модели тепловой энергии частиц изменение тепловой энергии дается как:

\ [\ Delta E _ {\ text {Thermal}} = \ text {(# режимов на частицу)} \ times N \ times \ frac {1} {2} k_ {B} \ Delta T \ nonumber \]

Поскольку \ (\ Delta E _ {\ text {Therm}} \) одинаково для одного и того же ΔT для обоих веществ, общее количество режимов должно быть одинаковым для обоих веществ.Общее количество мод — это количество частиц, умноженное на количество мод на частицу, поэтому для твердого тела мы получаем:

\ [\ text {total # mode} = 10N_A \ times 6 = 60N_A \ nonumber \]

Для неизвестного вещества:

\ [\ text {total # mode} = 60N_A = 12N_A \ text {(# режимов на частицу)} \ nonumber \]

, что дает (# мод на частицу) = 5, что верно для двухатомного газа с замороженными колебательными модами.

2) Поскольку два вещества представляют собой замкнутую систему, \ (\ Delta E _ {\ text {therm}} \), полученное одним веществом, должно быть равно \ (\ Delta E _ {\ text {Thermal}} \) _{потерянным. по другому:}

\ [\ text {(всего # режимов твердого тела)} | \ Delta T_ {solid} | = \ text {(всего # режимов газа)} | \ Delta T_ {gas} | \ nonumber \]

Из приведенного выше уравнения видно, что вещество с меньшим общим количеством режимов будет иметь большее изменение температуры. Твердое тело имеет общее количество мод \ (2N_A \ times 6 = 12N_A \), а двухатомный газ с вымороженными колебательными модами имеет общее количество мод \ (3N_A \ times 5 = 15N_A \) . Таким образом, твердое тело будет иметь большее изменение температуры.

Теплоемкость при постоянном объеме

Давайте теперь свяжем определение макроскопической тепловой энергии из главы 1 и микроскопическое описание, представленное здесь. В частности, мы хотели бы развить понимание теплоемкости из главы 1 с точки зрения микроскопических параметров. Но нам нужно быть осторожными, чтобы на самом деле сравнивать одни и те же вещи.Мы знаем, что если сила действует на расстоянии, один физический объект будет воздействовать на другой. Когда мы проводим измерение теплоемкости, мы не хотим, чтобы образец работал с атмосферой или контейнером, в котором он находится. Поэтому мы указываем, что образец должен сохраняться в постоянном объеме во время измерения теплоемкости. Важным моментом здесь является то, что у нас есть способ напрямую измерить изменение тепловой энергии путем измерения теплоемкости образца при постоянном объеме, гарантируя, что все тепло, которое мы вкладываем в образец, идет на изменение его тепловой энергии, а не на некоторое работайте, расширяя емкость или давя на воздух в комнате.Из модели энергетического взаимодействия, когда работа не выполняется и изменяется только температура, мы имеем \ (\ Delta E_ {tot} = \ Delta E_ {th} = Q \). Когда изменение тепловой энергии происходит исключительно за счет добавления или отвода энергии в виде тепла, теплоемкость постоянного объема, обозначенная индексом «v», C _V , определяется скоростью изменения тепловой энергии с относительно температуры. Именно так мы определили тепловую энергию в уравнении 1.2.6 в главе 1:

\ [\ Delta E_ {термический} = C_V \ Delta T \]

, за исключением того, что теперь мы добавляем индекс «V» для точности.Вышеприведенное выражение является макроскопическим определением тепловой энергии при постоянном объеме. Давайте сравним приведенное выше уравнение с уравнением 3.4.7, описанным в модели тепловой энергии частиц. Приравнивая два уравнения друг к другу, используя газовую постоянную \ (R = N_Ak_B = 8.314 \ frac {J} {Kmol} \) и решая молярную теплоемкость \ (c_ {v, mol} \) (\ ( C_V = c_ {v, mol} \) на один моль или N _A количество частиц), получаем:

\ [c_ {v, mol} = \ frac {R} {2} \ text {(# режимов на частицу)} \ label {Cv} \]

У нас есть простое выражение выше, которое связывает идею теплоемкости, которая может быть экспериментально измерена в лаборатории с использованием макроскопических веществ, с микроскопической идеей каждой частицы в веществе, имеющей энергетический режим.Далее мы проверим правильность этой модели, когда рассмотрим некоторые шаблоны данных.

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Ученые Калифорнийского университета в Дэвисе конструируют следующую одномерную твердую структуру из своих недавно обнаруженных атомов, Aggieum ( Ai ) и Cyclerium ( Cy ):

Общее количество атомов 4N _A . Двойные линии представляют собой сильные связи Ai-Cy, а одиночные линии — более слабые связи AiCy-AiCy.Каждая частица может двигаться только в одном измерении.

a) Вычислите теплоемкость C _v для вещества на диаграмме.

б) Вы добавляете достаточно энергии, чтобы разорвать все более слабые связи. Образующиеся частицы газа могут свободно перемещаться в трех измерениях. Рассчитайте теплоемкость C _v для этого вещества, предполагая, что все режимы активны.

c) Вы добавляете еще немного энергии и замечаете, что при T = 500K все более прочные связи также разрываются. Если масса Ai в девять раз больше массы Cy, вычислите отношение их скоростей при T = 500K.

d) Вы берете два моля вещества в части a) и один моль вещества в части b) и помещаете их вместе в изолированный контейнер. Сравните величины изменений тепловой энергии двух веществ по мере их достижения тепловым равновесием. Предположим, что в анализируемом интервале нет изменений в энергии связи.

Решение

a) Поскольку каждый атом в этом твердом теле может двигаться только в одномерном измерении, на каждый атом приходится 2 моды, одна PE и одна KE. Теплоемкость:

\ [C_v = nc_ {v, mol} = 4 \ times \ text {(# режимов на частицу)} \ times \ frac {R} {2} = 33,26 Дж / К \ nonumber \]

б) После разрыва слабых связей молекулы AiCy больше не взаимодействуют, поэтому мы получаем двухатомный газ. Если все режимы активны, на молекулу приходится 7 режимов. Поскольку всего имеется 4N _A атомов, будет 2N _A молекул AiCy. Теплоемкость:

\ [C_v = nc_ {v, mol} = 2 \ times 7 \ times \ frac {R} {2} = 58.2} = \ frac {m_ {Ai}} {m_ {Cy}} = 9 \ nonumber \]

\ [\ frac {v_ {Cy}} {v_ {Ai}} = 3 \ nonumber \]

Таким образом, атомы Cy в среднем движутся в три раза быстрее, чем атомы Ai.

d) Чтобы ответить на этот вопрос, нужна только идея энергосбережения. Они находятся в изолированном контейнере:

\ [\ Delta E_ {th, a} + \ Delta E_ {th, b} = 0 \ nonumber \]

Таким образом, оба будут иметь одинаковую величину изменения тепловой энергии.

Шаблоны данных

На рисунке ниже показана молярная теплоемкость постоянного объема, пересчитанная с газовой постоянной, для нескольких газов от комнатной температуры до нескольких тысяч кельвинов. Поскольку \ (c_ {v, mol} / R = \ text {(# режимов на частицу)} / 2 \), график показывает нам, как количество режимов на частицу изменяется в зависимости от температуры. Одноатомные газы имеют самую низкую молярную постоянную объемную теплоемкость \ (\ frac {3} {2} R \), и значения не зависят от температуры.Двухатомные газы, кажется, имеют более высокие значения, начиная примерно с \ (\ frac {5} {2} R \), в то время как многоатомные газы имеют значительно большие значения, но также гораздо более выраженную температурную зависимость. Эти данные говорят нам, что не все режимы активны при любой температуре. Как мы ранее обсуждали при более низкой температуре, в некоторых режимах замораживаются , когда не хватает энергии для преодоления квантовой энергетической щели для возбуждения определенной моды. Например, мы видим, что при комнатной температуре двухатомные молекулы имеют 5 мод вместо возможных 7, что означает, что две колебательные моды неактивны.Эти данные показывают среднее значение для одного моля частиц, поэтому количество режимов изменяется плавно (а не по целочисленному счету), когда моды активируются в увеличивающемся количестве частиц по мере повышения температуры.

Рисунок 3.5.4: Зависимость теплоемкости от температуры для различных газов.

В таблице ниже показаны характеристики теплоемкости, наблюдаемые в различных газах. Каждый тип газа, например, одноатомный, имеет аналогичные значения удельной теплоты, и значения упорядочиваются от меньшего к большему по мере перехода от одноатомного к двухатомному и трехатомному, как подразумевается уравнением \ ref {Cv}.В следующей главе мы проанализируем, почему удельная теплоемкость газов, измеренная при постоянном давлении, больше, чем при постоянном объеме, а также аналогичную разницу между \ (C_ {mp} \) и \ (C_ {mv} \) для всех газы.